BAHAN AJAR MATEMATIKA

                                     

pencacahan

Kaidah-kaidah pencacahan mencoba menemukan beberapa banyaknya hasil yang mungkin terjadi (muncul) pada berbagai percobaan. Secara umum cara menemukan banyaknya hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan adalah dengan menggunakan pendekatan-pendekatan sebagai berikut :

1. Kaidah Perkaian

2. Permutasi

3. Kombinasi

I. Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian mengatakan bahwa jika tempat pertama dapat diisi dengan cara yang berbeda, tempat kedua dengan cara, …., tempat ke-k dengan cara, maka banyaknya cara untuk mengisi tempat k yang tersedia adalah ….

Contoh:
 
Bila kita perhatikan nomor rumah yang terdiri atas dua angka, tanpa angka nol, maka banyak rumah yang dimaksud dengan nomor ganjil ialah ….Jawab: Nomor rumah yang dimaksud terdiri atas dua angka. Ini berarti ada dua tempat yang harus diisi, yaitu PULUHAN dan SATUAN. Karena nomor harus ganjil, maka tempat satuan hanya dapat diisi oleh bilangan-bilangan ganjil, yaitu 1, 3, 5, 7, dan 9. Dengan demikian ada 5 cara untuk mengisi tempat satuan, sehingga

Sedangkan tempat puluhan dapat diisi oleh angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Sehingga

Dengan demikian banyaknya rumah dengan nomor ganjil adalah :

 

II. Permutasi

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Contoh :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

III. Kombinasi
 
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk  Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

 

Contoh :
Diketahui himpunan   

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! 

Jawab 

 

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

 

B. Peluang Suatu Kejadian
 
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian  

            Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P (A ) ditentukan dengan rumus :

 
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3 

 

3. Kisaran Nilai Peluang

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti. 

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh : 

Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

 

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

 

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

 
C. Peluang Suatu Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku   
Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab : 


 
Kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku   jika Sehingga  
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas. 
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika    adalah peluang terjadinya A dan B, maka
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas. 


4. Teorema Bayes

Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
 

5. Kejadian saling bebas Stokhastik

(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau :
P (A | B) = P (A), sehingga: 


D. Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:



Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut : 


2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :



Dengan P sebagai parameter dan

Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n
Dengan P sebagai parameter dan

P = Peluang sukses

n = Banyak percobaan

x = Muncul sukses

n-x = Muncul gagal

 

PERTIDAKSAMAAN SUATU VARIABEL

A. Sifat – Sifat

Pada pertidaksamaan suatu variabel berlaku sifat-sifat berikut :

B. Pertidaksamaan Pecahan
Langkah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan dapat dilakukan dengan cara berikut :

Buat ruas kanan menjadi nol

·                                         · Buat faktor linear pada pembilang dan penyebut

·                                         · Tuliskan nilai-nilai pembuat nol pada garis bilangan

·                                         · Tentukan tanda “+” dan “–“

·                                         · Tentukan interval yang sesuai

C. Pertidaksamaan Kuadrat Dan Pertidaksamaan Suku Banyak

Langkah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertidaksamaan kuadrat dan suku banyak dapat

dilakukan dengan cara :

·                 · Buat ruas kanan menjadi nol

·                 · Buat perkalian faktor linear pada pembilang dan penyebut

·                 · Tuliskan nilai-nilai pembuat nol pada garis bilangan·

·                 · Tentukan tanda “+” dan “–“

·                 · Tentukan interval yang sesuai

D. Pertidaksamaan Harga Mutlak

E. Pertidaksamaan Tanda Akar

SISTEM PERSAMAAN LINEAR & PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

PROGRAM LINEAR

1. Menentukan Nilai Optimum

Hal yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan soal dengan program linier :

a. Tentukan model matematikanya

b. Gambar grafik dari model tersebut

c. Tentukan daerah himpunan penyelesaian

d. Tentukan titik-titik verteks (pojok)

2. Persamaan Garis

a. Persamaan dengan gradien m melalui P (x₁, y₁) adalah y - y₁ = m (x - x₁)

b. Persamaan garis yang melalui dua titik P (x₁, y₁) dan Q (x₂, y₂) adalah :

c. Garis Yang Membagi Bidang Menjadi Dua Bagian

3. Program Linear

Di dalam program linier kita akan menemukan sebuah fungsi linier yang disebut fungsi tujuan atau

fungsi objektif dan sebuah sistem pertidaksamaan linier yang disebut kendala atau batasan.

Program linier untuk dua variabel dapat ditulis dengan :
Maksimum , dengan batasan :

, Atau

Minimun , dengan batasan : dengan batasan :


Persoalan yang ada adalah bagaimana menentukan nilai x dan y yang terdapat pada kendala yang membuat fungsi tujuan f (x,y) menjadi optimum (maksimum/minimum).

Contoh :
Tentukan nilai maksimum : , dengan batasan :

Jawab :
Himpunan Penyelesaian dari sistem Pertidaksamaan : adalah daerah yang diarsir pada grafik dibawah ini :


Titik-titik ekstrim dari himpunan penyelesaian (HP) adalah :
O (0,0); A (2,0); C (0,2) dan

Titik A merupakan titik potong garis 3x + y = 6 dengan sumbu x, yaitu:
y = 0 --> 3x + 0 = 6

x = 2

Jadi A (2,0)

Titik C merupakan titik potong garis x + 2y = 4 dengan sumbu y, yaitu :

x = 0 0 + 2y = 4

y = 2

Jadi C (0,2)

Titik B merupakan titik potong garis 3x + y = 6, dengan garis x + 2y = 4, yaitu :


Titik O merupakan titik potong garis x = 0 dengan y = 0
Nilai f (x,y ) = 4x + y pada setiap titik ekstrim adalah :

f (o) = f (0,0) = 4 (0) + 0 = 0

f (A) = f (2,0) = 4 (2) + 0 = 8

f (C) = f (0,2) = 4 (0) + 2 = 2

Nilai f (x, y) paling besar adalah 8, yang diperoleh pada titik ekstrim A (2,0)

FUNGSI PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

1) Bentuk Umum Persamaan Kuadrat :

, dan a, b, c,

Dimana :

x adalah variabel persamaan kuadrat
a adalah koefisien

b adalah koefisien x

c adalah konstanta

2) Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
a. Memfaktorkan

diuraikan menjadi

b. Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc


c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah :

dengan q > 0

3) Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan :

a. D > 0
Kedua akar nyata dan berlainan,

b. D = 0
Kedua akar nyata dan sama,

c. D <>
Kedua akar tidak nyata (imaginer)

d. dengan
bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional.
Untuk menghitung jumlah hasil kali akar-akar persamaan kuadrat , dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus dan

Dapat ditunjukkan bahwa:

Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat Yang Lain:

4). Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan
maka berlaku sifat-sifat berikut ini :
a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif

b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif

c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda


d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan


e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan

LOGARITMA

Logaritma merupakan fungsi invers dari eksponen.

Dengan a = bilangan pokok , yang merupakan invers (cerminan dari f(x) terhadap garis y = b) dari fungsi eksponen , sehingga mempunyai invers .

I. Sifat-sifat Logaritma

a. Sifat Perkalian Logaritma

Perkalian logaritma samadengan penjumlahan logaritma dengan basis tetap.

b.Sifat Pembagian Logaritma

Jika hasil logaritma merupakan pembagian,hasilnya dapat diuraikan menjadi operasi pengurangan bilangan logaritma dengan basis tetap.

.

c. Sifat Perpangkatan Logaritma

Hasil operasi berupa bilangan logaritma berpangkat, dapat diuraikan sbb:

d. Sifat Penarikan Akar

Jika ada hasil operasi logaritma yang berbentuk akar, ubahlah terlebih dahulu menjadi bentuk pangkat untuk mempermudah penyelesaianya.

Beberapa Sifat Logaritma yang lain:

II. Persamaan Logaritma

III. Pertidaksamaan Logaritma

FUNGSI EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
I. Eksponen Bulat positif
Jika a adalah bilangan real dan m merupakan bilangan bulat positif maka bentuk a pangkat m merupakan perkalian m faktor yang setiap faktornya adalah a. Secara umum dinyatakan :

Berdasarkan penjelasan diatas, berlaku rumus-rumus berikut ini, misalkan a, b elemen real

dan p, q merupakan bilangan bulat positif. Maka :

II. Eksponen Rasional
Bilangan pangkat rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan ketentuan m, n adalah bilangan bulat, Sehingga bilangan berpangkat rasional adalah bilangan yang berpangkat pecahan. Eksponen rasional secara umum dapat ditulis :

III. Sifat-sifat Bentuk Akar

dan c adalah bilangan rasional bukan negatif berlaku :

c. Perkalian Bentuk Akar

Untuk a, b, adalah bilangan rasional bukan negatif berlaku :

d. Pembagian Bentuk Akar

Untuk a, b, adalah bilangan rasional bukan negatif berlaku :

e. Merasionalkan Penyebut Pecahan Dalam Bentuk Akar:

IV. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen dalam x adalah suatu persamaan yang eksponenya paling sedikit memuat suatu

fungsi x :

V. Pertidaksamaan Eksponen

                                                              SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu: (1) SPLK Eksplisit dan (2) SPLK Impilsit.

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:
dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh
         ax + b = px² + qx + r
     px² + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
   
   
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.
   

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b² - 4ac.
Diskriminan dari px² + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)² - 4p(r - b).

Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.

Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola

Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Contoh 1

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7
    y = x² + 4x - 12

   Jawab :

   Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x² + 4x - 12 diperoleh
                  x + 7 = x² + 4x - 12
   x² + 3x - 19 = 0
                    D = 3² - 4(1)(-19)
                    D = 9 + 76
                    D = 85

                           Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

                         

b. y = -2x + 5
    y = x² + 6x + 21
    Jawab :

    Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x² + 6x + 21 diperoleh
                -2x + 5 = x² + 6x + 21
   x² + 8x + 16 = 0
                     D = 8² - 4(1)( 16)

                     D = 64 - 64
                    D = 0
   Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4
    y = x² + 6x + 9
    Jawab : 

   Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x² + 6x + 9 diperoleh
                   3x - 4 = x² + 6x + 9
     x² + 3x + 13 = 0
                      D = 3² - 4(1)( 13)
                      D = 9 - 52
                      D = -43
   Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
 y = x² + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x² + 4x, diperoleh
              2x + 8 = x² + 4x                                 
    x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x = -4 atau x = 2
    x = -4   y = 2(-4) + 8 = 0
    x = 2    y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x² - 2x - 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola
                 b. sketsa grafiknya.
Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x² - 2x - 8, diperoleh
                    x + 2 = x² - 2x - 8                            
       x² - 3x - 10 = 0
     (x + 2)(x - 5) = 0
      x = -2 atau x = 5
         x = -2   y = -2 + 2 = 0
         x = 5    y = 5 + 2 = 7     
         Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

    y = x + 2

x	0	-2
y	2	0

                                                           
    y = x² - 2x - 8

x	0	-2 atau 4	1
y	-8	0	-9

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x² +2x - 15   
              (2) y = 4x - 8                                       (4) x = y² + 8y +12

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)
Contoh: (1) x² + y² + 25 = 0                              (3) x² - 6xy + y² + 8y = 0   
              (2) x² + y² - 4x +  6y = 0                      (4) x² + 2xy + y² - 10y + 9 = 0

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
2. Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
3. Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK x² + y² - 10 = 0

Jawab:
x + y - 4 = 0 y = -x + 4
Substitusikan y ke persamaan x² + y² - 10 = 0
           x² + (-x + 4)² - 10 = 0
  x² + x² - 8x + 16 - 10 = 0
                 2x² - 8x + 6 = 0
                   x² - 4x + 3 = 0
                (x - 1) (x - 3) = 0
   x = 1 atau x = 3
       x = 1 y = -1 + 4 = 3
       x = 3  y = -3 + 4 = 1

         

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}          

         

         

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0

Jawab:
x - y = 5 x = y + 5
Substitusikan x ke persamaan x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0
            (y + 5)² + y² - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0
y² + 10y + 25 + y² - 2y - 10 + 4y + 1 = 0
                                   2y² + 12y + 16 = 0
                                         y² + 6y + 8 = 0
                                     (y + 2) (y + 4) = 0

    y = -2 atau y = -4

        y = -2 x = -2 + 5 = 3

        y = -4 x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1. Ubah persamaan ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)² - s² = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
   mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0
2. Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK x² - 6xy + 9y² - 36 = 0

Jawab:
           x² - 6xy + 9y² - 36 = 0
                 (x - 3y)² - 36 = 0
   (x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0
   x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0
   x - 3y = -6  atau x - 3y = 6
Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6  dan x - 3y = 6

   x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

         y = 2                   x = 0

   x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

         y = 2                   x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

SPLK Eksplisit

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh
         ax + b = px² + qx + r
     px² + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
   
   
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.
   

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b² - 4ac.
Diskriminan dari px² + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)² - 4p(r - b).

Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.

Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola

Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Contoh 1

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7
    y = x² + 4x - 12

   Jawab :

   Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x² + 4x - 12 diperoleh
                  x + 7 = x² + 4x - 12
   x² + 3x - 19 = 0
                    D = 3² - 4(1)(-19)
                    D = 9 + 76
                    D = 85

                           Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

                         

b. y = -2x + 5
    y = x² + 6x + 21
    Jawab :

    Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x² + 6x + 21 diperoleh
                -2x + 5 = x² + 6x + 21
   x² + 8x + 16 = 0
                     D = 8² - 4(1)( 16)

                     D = 64 - 64
                    D = 0
   Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4
    y = x² + 6x + 9
    Jawab : 

   Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x² + 6x + 9 diperoleh
                   3x - 4 = x² + 6x + 9
     x² + 3x + 13 = 0
                      D = 3² - 4(1)( 13)
                      D = 9 - 52
                      D = -43
   Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
 y = x² + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x² + 4x, diperoleh
              2x + 8 = x² + 4x                                 
    x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x = -4 atau x = 2
    x = -4   y = 2(-4) + 8 = 0
    x = 2    y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x² - 2x - 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola
                 b. sketsa grafiknya.
Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x² - 2x - 8, diperoleh
                    x + 2 = x² - 2x - 8                            
       x² - 3x - 10 = 0
     (x + 2)(x - 5) = 0
      x = -2 atau x = 5
         x = -2   y = -2 + 2 = 0
         x = 5    y = 5 + 2 = 7     
         Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

    y = x + 2

x	0	-2
y	2	0

                                                           
    y = x² - 2x - 8

x	0	-2 atau 4	1
y	-8	0	-9

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x² +2x - 15   
              (2) y = 4x - 8                                       (4) x = y² + 8y +12

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)
Contoh: (1) x² + y² + 25 = 0                              (3) x² - 6xy + y² + 8y = 0   
              (2) x² + y² - 4x +  6y = 0                      (4) x² + 2xy + y² - 10y + 9 = 0